Основными способами задания функций являются аналитический, табличный и графический. Данный график функций является немонотонным, и непрерывным, значит он имеет промежутки возрастания и убывания, между которые находятся точки экстремумов. Например, парабола, ветви которой направлены вверх, всегда будет ограничена снизу, как бы мы её не перемещали по координатной плоскости. Она всегда будет иметь минимальное значение функции, ниже которой не опустится. А вот линейная функций нигде не ограничена, т.к.
Определение функции
Например, таким свойством обладает определенная на с. 44 функция Дирихле (10.1) (покажите это!). Найти предел Из таблицы 2 (см. с. 57) эквивалентных бесконечно малых функций следует, что следовательно, учитывая свойство непрерывности функции получим Более высокого функции фондовой биржи порядка, чем функция Замечательные пределы (12.1)—(12.5) позволяют получить ряд примеров эквивалентных при функций, некоторые из которых приведены в таблице 2.
Алгебраической называется такая функция, над аргументом которой производится конечное число алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и возвышение в рациональную степень). Функция называется неявной, если задающее ее уравнение не разрешено относительно этой функции. Функции делятся на явные и неявные. Функция называется явной, если уравнение задающее ее, разрешено относительно этой функции. Если непрерывная функция меняет знак подряд несколько раз, то график ее пересекает ось Ох столько же раз (рис. 80).
Если независимая переменная принимает только целые значения переменной, то функция называется функцией целочисленного аргумента. Функции могут быть заданы и на произвольном дискретном множестве, например, произвольное целое число, 1 -фиксированное вещественное число. Функция – это правило, которое каждому элементу из одного множества (называемого областью определения) ставит в соответствие ровно один элемент другого множества (называемого областью значений). Функцию обычно обозначают символом f, а ее значение при аргументе x записывают как f(x). А её область значений – это все значения ординат больше или равные, чем –8, т.к. Ниже этой точки данный график не существует.
Покажем, что графики функций конгруэнтны. На основании этих примеров можно сделать следующие выводы о графике функции Мы уже знаем, что функция определена на множестве всех чисел, является четной, возрастающей, если и убывающей, если Пусть функция задана формулой определенной на множестве всех чисел.
Задание функции графиком
Две переменные величины называются связанными функциональной зависимостью, если каждому значению одной из них соответствует одно или несколько определенных значений другой. Первая величина называется независимой переменной, а вторая— зависимой переменной или функцией. Если каждому значению независимой переменной соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной, в противном случае— многозначной. Приняв х за абсциссу, а у за ординату точки, построим точки, полученные в таблицах, и соединим их плавной кривой. Тогда получим кривую линию, изображенную на рис.
Обратная функция
Найденное число и является требуемым номером Действительно, если и, следовательно, Если при приближении значений аргумента х к числу а значения у приближаются к числу А. Другими словами, если значения х брать «вблизи» точки а, то соответствующие значения у будут находиться «вблизи» точки А.
Эти функции удобно представлять в виде графиков. Областью определения и значения данной функции являются все числа, так как это линейная функция, не имеющая ограничений (в том числе и смысловых). Если слева направо график функции «идёт вверх», то на этом промежутке функция возрастает, а если «вниз» — то убывает. Область значений функции — это множество значений, которые принимает зависимая переменная (переменная y). Обозначают область значений функции E(y). Подобно тому, как в алгебре для обозначения чисел вводятся буквы, так и для функций в общем виде вводится следующее обозначение.
Основные свойства функций
Этой формулой задана функция Поменяв х и у местами, получим соответствующие пары для функции Значит, обратная функция в данном случае задается формулой Пусть дана обратимая функция В силу того, что функция обратимая, существует функция — обратная данной функции. Как известно, функцию можно задать при помощи пар соответствующих значений аргумента и функции Тогда функцию можно задать при помощи пар Докажем теперь, что графики любых двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Полученный таким образом график функции изображен на рис.
► Пусть Тогда в силу непрерывности функции в точке имеем Далее, в силу непрерывности функции в точке имеем Следовательно, Показать, что функция непрерывна в произвольной точке . Требуется показать, что для такое, что если Так как для произвольного верны неравенства то Показать, что функция непрерывна в точке Имеем Далее, Говорят, что функция непрерывна в точке если для такое, что из следует
Предел функции
Перечислим сначала основные частные случаи. Функции определены для любых х и принимают значения из отрезка -1; 1 (рис. 5.4). Переменная величина у называется функцией переменной х, определенной в некоторой области, если каждому значению х из этой области соответствует одно значение у. Функция у заданная уравнением (3), называется обратной по отношению к функции у, заданной уравнением (1); обе же функции (1) и (3) взаимно обратны. Трансцендентной называется всякая неалгебраическая функция. Например, в уравнении функция у дается в неявном виде.
- Пусть функция определена на отрезке и непрерывна в каждой точке этого отрезка.
- Возрастающая или убывающая на промежутке функция называется строго монотонной, если она возрастает; убывает или сохраняет постоянное значение, то называется нестрого монотонной.
- Рассмотрим функции У них один и тот же коэффициент b, а коэффициент k имеет разные значения.
- Покажем, что функция непрерывная в промежутке (0,1), не является равномерно непрерывной на нем.
- Для любых из условия вытекает, что Покажем, что из условия следует что и Но если (иначе соответствие не было бы функцией).
- Напомним, что соответствие между множествами X и У называется функцией, если каждому значению соответствует одно и только одно значение
Аналитический способ
- Возьмем два произвольных положительных значения аргумента входящих в область определения функции.
- Все вышеперечисленные способы задания функции называются конструктивными.
- Таким образом график, изображенный на рис.
- Подписывайтесь и пишите в комментариях свои вопросы и пожелания.
Являются вертикальными асимптотами графика данной функции (рис. 5.16). В последнем случае называется точкой устранимого разрыва. Разность называется скачком функции в точке . Функция имеет в точке разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует или равен бесконечности.
Рассмотрим функцию, которая числу х ставит в соответствие его абсолютное значение . Если на «вход» этой функции подать неотрицательное число , то на «выходе» получим то же число , а если подать отрицательное число , то получим положительное число — . Ясно, что область определения этой функции — множество действительных чисел, а область значений — множество неотрицательных чисел.